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    如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°．

    （Ⅰ）设PD的中点为M，求证：AM平面PBC；

    （Ⅱ）求PA与平面PBC所成角的正切值.

     

    【答案】

    (I)见解析    （Ⅱ）

    【解析】（Ⅰ）利用所给直线的向量与已知平面的法向量垂直可证明直线与平面平行；（Ⅱ）利用直线所在的向量与平面法向量的夹角与直线与平面的夹角互余可求出所求角

    (I),如图建立空间直角坐标系．

    设,则，，．    ……2分

    设平面的一个法向量为，则

    令得．   ……4分

    而，所以，即，又平面

    故平面．……6分

    （Ⅱ），设与平面所成角为，

    由直线与平面所成角的向量公式有．…11分

     

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    如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
    E是PC的中点．求证：
    （Ⅰ）CD⊥AE；
    （Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
    （1）求证：AD⊥PB；
    （2）求三棱锥P-MBD的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
    		2
    ，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
    （1）求证：PD⊥AC；
    （2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
    AE
    AP
    的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
    		3
    ，点F是PB中点．
    （Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
    （Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
    （Ⅲ）若BE=
    		3
    3
    ，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
    		2
    ，设PC与AD的夹角为θ．
    （1）求点A到平面PBD的距离；
    （2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．

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