Question

已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=2a=|

QP

|+|

QP′

|=

( 5 2 -2)2+( 3 2 )2

+

( 5 2 +2)2+( 3 2 )2

=2

10

，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）
（I）证明：平面PAD⊥PCD；
（II）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_MACB=2：1；
（III）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD．

Answer 1

分析：（I）由已知中CD⊥AD及面PAD⊥面ABCD，我们根据面面垂直的性质定理得到CD⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥PCD；
（II）根据（I）的结论，平面PAB⊥平面ABCD，在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，利用体积公式，分别计算V_PDCMA，V_MACB，再根据V_PDCMA：V_MACB=2：1，即可求出满足条件的M为PB的中点；
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如如图所示的空间直角坐标系，求出相关顶点的坐标，进而求出直线AM的方向向量及平面PCD的法向量，判定两个向量是否垂直，即可判断直线AM是否平行面PCD．

解答：解：（I）证明：依题意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD∴DC⊥平面PAD．（2分）
∴平面PAD⊥PCD；
（II）由（I）知PA⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．（4分）
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则VM-ABC=

1

3

S△ABC•h=

1

3

×

1

2

×2×1×h=

h

3

VP-ABCD=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

(1+2)

2

×1×1=

1

2

（6分）
要使VPDCMA：VMACB=2：1，即(

1

2

-

h

3

)：

h

3

=2：1，解得h=

1

2

即M为PB的中点；
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，
建立如如图所示的空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，

1

2

）
由（I）知平面PAD⊥平面PCD，作AQ⊥PD，则AQ⊥平面PDC，则

AQ

为平面PCD的法向量．（10分）
又∵△PAD为等腰Rt△∴Q为PD的中点，即Q(

1

2

，0，

1

2

)
因为

AQ

•

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)(0，1，

1

2

)=

1

4

≠0，所以

AQ

不垂直

AM

所以AM与平面PCD不平行．（13分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线、平面间平行与垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答此类问题的关键．