Question

函数f（x）=（sinx+3）（cosx-3）的值域为

 

．

Answer 1

分析：利用t=sinx+cosx，利用两角和的正弦公式进行化简后，由x的范围求出t的范围，由对t的式子两边平方后，由平方关系求出sinxcosx，代入解析式转化为关于t的二次函数，对式子配方后利用二次函数的性质求出最值，就求出值域；

解答：解：f（x）=（sinx+3）（cosx-3）=sinxcosx-3sinx+3cosx-9
令cosx-sinx=t，则（cosx-sinx）²=cos²x-2sinxcosx+sin²x=1-2sinxcosx=t²
∴sinxcosx=

1-t2

2

整理得f（x）=

1-t2

2

+3t-9=-

1

2

(t-3)2-4
∵t=cosx-sinx=-

2

sin（x+θ）
由-1≤sin（x+θ）≤1可知-

2

≤t≤

2

，
将t的取值代入f（x）中可知-3

2

-

19

2

≤f(x)≤3

2

-

19

2

∴f（x）的值域为[-3

2

-

19

2

，3

2

-

19

2

]，
故答案为：[-3

2

-

19

2

，3

2

-

19

2

]

点评：本题的考点是复合三角函数的值域的求法，主要利用换元法和“sinx+cosx”与“sinxcosx”的关系，注意由函数的定义域和正弦（余弦）函数的值域，求出换元后的自变量的范围，根据二次函数的性质求出函数的值域．