Question

已知函数f(x)=

ax2+1

x+c

（a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．
（I）求函数的解析式
（Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R⁺，求证：f(a)f(b)≥

25

4

（Ⅲ） 若g（x）=f（x）-x，n∈N^*且n≥2，求证：

n-1

2n

≤g(22)+g(32)+g(42)+…+g(n2)＜

n-1

n

．

Answer 1

分析：（I）先根据函数为奇函数即f（-x）=-f（x）求得c=0，进而根据均值不等式求得函数f（x）的最小值的表达式，结果为2求得a，进而求得函数f（x）的解析式；
（II）利用分析法进行证明．欲证原不等式成立，只需证：(a+

1

a

)•(b+

1

b

)≥

25

4

．因为 a+b=1，即证：ab+

2

ab

-2≥

25

4

，令t=ab，考察函数y=t+

2

t

，结合此函数在区间（0，

1

4

]上是单调减函数即得；
（III）用分析法证明．分析得出只需证：

n-1

2n

≤

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

n-1

n

，下面从而左右两个方面进行证明即可．

解答：解：（I）由函数f(x)=

ax2+1

x+c

（a＞0，c∈R）为奇函数，
可得f（-x）=

ax2+1

-x+c

=-f（x）=-

ax2+1

x+c

∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴f(x)=

ax2+1

x

再由x＞0时，f(x)=

ax2+1

x

≥

2 a x

x

=2

a

，
∵f（x）的最小值为2，得2

a

=2，⇒a=1，
故f(x)=

x2+1

x

（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）欲证原不等式成立，
需证：(a+

1

a

)•(b+

1

b

)≥

25

4

．
因为 a+b=1，即证：ab+

2

ab

-2≥

25

4

，
再由a+b=1，a、b∈R⁺，ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

，故0＜ab≤

1

4

，
令t=ab，考察函数y=t+

2

t

，它在区间（0，

1

4

]上是单调减函数，当t=

1

4

时，y=

33

8

，
∴ab+

2

ab

-2≥

25

4

，
从而原不等式成立．…（8分）
（学生用其它方法参照给分）
（Ⅲ）g(x)=

1

x

，需证：

n-1

2n

≤

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

n-1

n

一方面：

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 n2 ＜ 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 (n-1)n =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 n-1 - 1 n = n-1 n

…（10分）
另一方面：

1

22

=

1

2×2×(2-1)

1

k2

=

1

k•k

＞

1

k•2(k-1)

(k＞3)

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 n2 ≥ 1 2 ( 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 (n-1)n ) = 1 2 (1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 n-1 - 1 n )= n-1 2n

综上

n-1

2n

≤

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

n-1

n

．
…（14分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，均值不等式的应用，不等式的证明及函数的单调性．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．