Question

（2012•梅州二模）己知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面区域的面积为16

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左项点为A，上顶点为B，圆M过A、B两点．当圆心M与原点O的距离最小时，求圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆C的离心率为

2

2

，可得a=

2

b，根据不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面区域的面积为16

2

，可得4×

1

2

ab=16

2

，由此可求得a，b的值，从而可得椭圆C的方程；
（2）确定AB的垂直平分线L的方程，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥L，可得OM的方程，联立可得M的坐标与圆的半径，从而可得圆M的方程．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，∴

a2-b2

a

=

2

2

∴a=

2

b①
根据对称性，可得不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面区域是椭圆C的四个顶点为顶点的菱形
∵不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面区域的面积为16

2

．
∴4×

1

2

ab=16

2

②
由①②解得a=4，b=2

2

∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

8

=1；
（2）由题意，A（-4，0），B（0，2

2

），可得AB的垂直平分线L的方程为：

2

x+y+

2

=0
点M在L上，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥L，可得OM的方程为：y=

2

2

x
解方程组

2 x+y+ 2 =0 y= 2 2 x

得x=-

2

3

，y=-

2

3

∴M（-

2

3

，-

2

3

），此时r2=

102

9

∴圆M的方程为(x+

2

3

)2+(y+

2

3

)2=

102

9

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，确定圆的圆心与半径是关键．