Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q＞0）．
（1）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）试求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对任意大于1的正整数n，均有a_n＞b_n，求q的取值范围．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）得，a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1（n≥2）．
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，b_n≠0．
所以，{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列
（2）由（1）有，b_n=q^n-1
又a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+q+…+q^n-2（n≥2）
所以，当n≥2时，．
上式对n=1显然成立．故有．
（3）q=1符合题意；
若q≠1，

或
解得：q∈（0，1）∪（1，2）．
综上，q∈（0，2）..
分析：（1）将已知递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{b_n}是等比数列．
（2）先利用等比数列的通项公式求出b_n，再用叠加法求出数列{a_n}的通项公式．
（3）将两个数列的通项代入不等式得到关于d的不等式，将不等式因式分解，求出d的范围．
点评：本题考查证明一个数列是等比数列的方法是利用等比数列的定义；利用等比数列的前n项和的公式时，一定注意公比为1时要分类讨论．