Question

如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形．
（Ⅰ）求证：BC⊥BE；
（Ⅱ）求正方形ABCD的边长；
（Ⅲ）求直线EF与平面ABF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根据AE⊥底面BEFC，可得AE⊥BC，而AB⊥BC，又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件，则BC⊥面ABE，根据线面垂直的性质可知BC⊥BE；
（II）根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径，设正方形ABCD的边长为x，根据BE²+EF²=BF²，建立方程，解之即可求出所求；
（III）以F为原点建立空间直角坐标系，求出面AEF的法向量

n

，然后求出法向量与向量

EF

的余弦值即可求出直线EF与平面ABF所成角的正弦值．

解答：解：（I）∵AE是圆柱的母线∴AE⊥底面BEFC，（1分）
又BC?面BEFC∴AE⊥BC（2分）
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE（3分）
又BE?面ABE∴BC⊥BE（4分）
（II）∵四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方形∴EF

∥

.

BC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径（1分）
设正方形ABCD的边长为x，则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2，AB=x，且BE²+AE²=AB²，得BE²=x²-4
在直角△BEF中BF=6，EF=x，且BE²+EF²=BF²，的BE²=36-x²（2分）
解得x=2

5

，即正方形ABCD的边长为2

5

（3分）
（III）解：如图以F为原点建立空间直角坐标系，
则A（2

5

，0，2），B（2

5

，4，0），E（2

5

，0，0），

FA

=（2

5

，0，2），

FB

=（2

5

，4，0），

FE

=（2

5

，0，0）（1分）
设面AEF的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • FA =(x，y，z)•(2 5 ，0，-2)=2 5 x-2z=0 n • FB =(x，y，z)•(2 5 ，4，0)=2 5 x-4y=0

（3分）
令x=1，则y=

5

2

，z=

5

，即

n

=（1，

5

2

，

5

）（4分）
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ，则sinθ=|COS＜

n

，

EF

＞|=|

n • EF

| n |•| EF |

|=|

2 5

2 5 • 5 4 +1+5

|=

2 29

29

（6分）
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为

2 29

29

．

点评：本题主要考查了线线位置关系，线面所成角的度量，以及利用空间向量的方法求解立体几何问题，属于中档题，考查空间想象能力，计算能力．