Question

已知向量=（sinx，-1），向量=（cosx，-），函数f（x）=（+）•．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量的数量积的坐标运算结合三角函数的降次公式、辅助角公式，将函数化简整理得f（x）=sin（2x-）+2，由此不难用三角函数的周期公式，求出f（x）的最小正周期T；
（2）根据正弦函数的单调性与最值，得到f（x）在x=时取得最大值，从而得到A=，在△ABC内用余弦定理列出关于边b的方程，解之即得b的值，最后用面积正弦定理的公式可求出△ABC的面积S．
解答：解：∵向量=（sinx，-1），向量=（cosx，-），
∴+=（sinx+cosx，-），
由此可得f（x）=（+）•=sinx（sinx+cosx）+=sin²x+sinxcosx+
∵sin²x=，sinxcosx=sin2x
∴f（x）=sin2x-cos2x+2=sin（2x-）+2
（1）根据三角函数的周期公式，得周期T==π；
（2）f（A）=sin（2A-）+2，当A∈[0，]时，f（A）的最大值为f（）=3
∴锐角A=，根据余弦定理，得cosA==，可得b²+c²-a²=bc
∵a=2，c=4，
∴b²+16-12=4b，解之得b=2
根据正弦定理，得△ABC的面积为：S=bcsinA=×2×4sin=2．
点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了三角函数的降次公式、辅助角公式和用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．