Question

【题目】已知等差数列的公差不为零，且，、、成等比数列，数列满足

（1）求数列、的通项公式；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设等差数列的公差为，，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到，可令，求得，再将换为，相减可得；

（2）原不等式转化为，应用数学归纳法证明，注意检验时不等式成立，再假设时不等式成立，证明时，不等式也成立，注意运用分析法证明.

（1）等差数列的公差不为零，，可得，

、、成等比数列，可得，即，

解方程可得，则.

数列满足，可得，

当时，由，

可得，

相减可得，则，也适合，则，；

（2）证明：不等式即为

，

下面应用数学归纳法证明.

（i）当时，不等式的左边为，右边为，左边右边，不等式成立；

（ii）假设时，不等式成立，

当时，，

要证，

只要证，

即证，

即证，

由，可得上式成立，可得时，不等式也成立.

综上可得，对一切，，

故.