Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,直线l₁:x=2,直线l₂:y= -t²+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l₁,l₂与函数f(x)的图象以及l₂,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.

(1)求a,b,c的值;

(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.

Answer 1

解:(1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,

则解得

(2)由(1)得f(x)=-x²+8x,

由

得x²-8x-t(t-8)=0,所以x₁=t,x₂=8-t.

因为0≤t≤2,

所以直线l₂与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t²+8t).

由定积分的几何意义知

S(t)=[(-t²+8t)-(-x²+8x)]dx+

[(-x²+8x)-(-t²+8t)]dx

=[(-t²+8t)x-(-+4x²)]+

[(-+4x²)-(-t²+8t)x]

=-t³+10t²-16t+.

所以S(t)=-t³+10t²-16t+(0≤t≤2).