Question

【题目】在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边，若把沿边折叠到的位置，使平面平面．

（1）证明：．

（2）若为棱的中点，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直，可知平面，进而可证.

（2）为坐标原点，，分别为，轴的正方向，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，即可得，，，从而可求出平面的法向量，平面的法向量，进而可求二面角的余弦值.

（1）证明：因为是等腰直角三角形，为斜边，所以．

因为平面平面，平面平面，所以平面．

因为平面，所以．

（2）解：由（1）知，平面，则以为坐标原点，

，分别为，轴的正方向，过点平行于的直线为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，，

故，，．

设平面的法向量，则，

令，得．

设平面的法向量，则，

令，得，则．

由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．