Question

已知A（-1，0），B是圆F：（x-1）²+y²=9（F为圆心）上的一个动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为

4

9

x2+

4

5

y2=1

．

Answer 1

分析：利用线段垂直平分线的性质和椭圆的定义，可证出|PF|+|PA|为定值，且这个定值大于AF长，故点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，然后求出a、b的值得到椭圆的方程，即为所求动点P的轨迹方程．

解答：解：由题意得圆心F（1，0），半径r=3，
∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，
得|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=r=3＞|AF|，
故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，
其中2a=3，c=1，可得b²=a²-c²=

5

4

，
∴椭圆的方程为

4

9

x2+

4

5

y2=1，即为所求动点P的轨迹方程
故答案为：

4

9

x2+

4

5

y2=1

点评：本题给出圆内满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了椭圆的定义、线段的中垂线的性质和圆的性质等知识，属于中档题．