Question

（2013•泰安二模）在如图的多面体中，AD⊥平面ABE，AE⊥AB，EF∥AD，AD∥BC，AE=AB=BC=EF=2，AD=3
（I）求证：BE∥平面ACF；
（II）求证：BF⊥AC；
（III）求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据题意，可证出四边形BCEF是平行四边形，得BE∥CF，结合线面平行判定定理即可证出BE∥平面ACF；
（II）过D作DH∥AE交AD于H，由AD⊥平面AEB得AD⊥AE，结合AE⊥AB证出AE⊥平面ABCD，可得FH⊥平面ABCD，从而得到FH⊥AC．再由题中条件证出四边形ABCH为正方形，得BH⊥AC，从而证出AC⊥平面BFH，可得BF⊥AC；
（III）作HG⊥DF于G，连结CG，由前面的证明可得CH⊥平面AEFD，由三垂线定理结合HG⊥DF得到CG⊥DF，可得∠CGH是二面角C-DF-E的平面角．然后在Rt△CHG中，分别算出HG、CG之长，得到cos∠CGH=

HG

CG

=

6

6

，即得二面角C-DF-E的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵AD∥EF，AD∥BC，∴EF∥BC． 
又∵BC=EF=2，∴四边形BCEF是平行四边形，可得BE∥CF．
∵BE?平面ACF，CF?平面ACF，∴BE∥平面ACF；
（Ⅱ）∵AD⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴AD⊥AE，
又∵AE⊥AB，AD∩AD=A，AB、AD?平面ABCD，
∴AE⊥平面ABCD．
平面AEFD内，过D作DH∥AE交AD于H，则FH⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴FH⊥AC．
连结CH、BH，则
∵平行四边形AEFH中，AH=EF=2
∴BC∥AH，BC=AH=2，可得四边形ABCH平行四边形，
∵AB=BC=2，∴四边形ABCH为正方形，可得BH⊥AC
又BH∩FH=H，BH?平面BFH，FH?平面BFH，
∴AC⊥平面BFH，结合BD?平面BHD，可得BF⊥AC；
（III）作HG⊥DF于G，连结CG
∵AE⊥平面ABCD，AE?平面AEFD，∴平面ABCD⊥平面AEFD
∵CH⊥AD，平面ABCD∩平面AEFD=AD，CH?平面ABCD
∴CH⊥平面AEFD，可得HG是CG在平面AEFD的射影
∵HG⊥DF，∴CG⊥DF，可得∠CGH是二面角C-DF-E的平面角
∵Rt△DFH中，FH=2，DH=AD-AH=1，
∴DF=

FH2+DH2

=

5

，可得HG=

FH•DH

DF

=

2 5

5

因此，Rt△CHG中，CG=

CH2+HG2

=

2 30

5

∴cos∠CGH=

HG

CG

=

6

6

，即二面角C-DF-E的余弦值为

6

6

．

点评：本题给出特殊的多面体，求证线面平行、线线垂直并求二面角的余弦之值，着重考查了空间垂直、平行的位置关系判断与证明和二面角大小的求法等知识，考查了空间想象能力，属于中档题．