Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，以为直径的圆：过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率大于0的直线与的另一个交点为，与直线的交点为，过点且与垂直的直线与直线交于点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)先求出点的坐标，再利用椭圆的定义求出的值，即得椭圆方程；

(2)设,，将直线的方程代入椭圆方程求出，进而表示出的面积，再利用基本不等式求出最小值.

解：(1)在圆的方程中，令，得到：，

所以，，

又因为且，所以点坐标为，

所以，则，，

因此椭圆的方程为；

(2)设直线：，

所以点的坐标为，

设，，将直线代入椭圆方程得：

，

所以，所以，

直线的方程为，所以点坐标为，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

综上，面积的最小值.