Question

【题目】已知在中，两直角边，的长分别为和，以的中点为原点，所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，椭圆以，为焦点，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线：与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为等边三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或

【解析】

（1）由题意，得到椭圆的定义求得的值，再结合的关系，求得，即可得到椭圆的标准方程；

（2）假设存在轴上存在点点，由题意联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式，求得点P的坐标，进而求出弦长，再根据C到弦AB的中点P的距离为弦长的倍，结合，求得C的坐标，进而求得的值.

（1）由题意，根据椭圆的定义，可得，

所以，又，

又，又焦点在x轴上，

故所求椭圆方程为.

（2）假设在轴上存在点，使得为正三角形.

设，线段AB的中点为，则.

又，整理得，

则，解得，

又

所以，

，

即，则，

令，则，即，，

所以，

解得，满足条件

所以在轴上存在点，使得为正三角形.