Question

设二次函数f（x）=ax²-2x-2a（a为实常数）
（1）若a＞0，且f（x）在x∈[0，2]的最小值为-3，求a的值；
（2）若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，若A∩B=?，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将二次函数f（x）=ax²-2x-2a配方转化为f（x）=a(x-

1

a

)2-

1

a

-2a，对其对称轴x=

1

a

与区间[0，2]的位置关系分类讨论即可；
（2）将“f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，若A∩B=?，”转化为f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立来解决，再对a分a＞0与a＜0分类讨论即可．

解答：解：（1）f（x）=a(x-

1

a

)2-

1

a

-2a，
1°0≤

1

a

≤2即a≥2时，f（x）_min=f（

1

a

）=-2a-

1

a

=-3，
从而2a+

1

a

-3=0，
∴2a²-3a+1=0，
∴a=

1

2

或a=1（舍），
∴a=

1

2

．
2°若

1

a

＞2即0＜a＜

1

2

时f（x）_min=f（2）=4a-4-2a=-3，
∴2a=1，a=

1

2

（舍），
∴a=

1

2

…6分
（2）据题意有f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立?ax²-2x-2a≤0，x∈（1，3）恒成立，
1°a＞0时?

f(1)≤0 f(3)≤0

⇒

a-2-2a≤0 9a-b-2a≤0

⇒-2≤a≤

6

7

．
2°a＜0时，f（x）=a(x-

1

a

)2-

1

a

-2a在x∈（1，3）上单调递减，
∴f（x）＜f（1）≤0，
∴-2≤a＜0．
综上a∈[-2，0）∪（0，

6

7

]…12分

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查分类讨论思想与转化思想的运用，特别是将（2）转化为f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立来解决是难点，属于难题．