Question

 

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，且AB＝4，∠POB＝30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，

若△OEF的面积不小于2，求直线l的斜率的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别

为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则

点A(－2，0），B(2，0），P(，1).                                           （2分）

设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则

2a＝｜PA｜－｜PB｜＝，2c＝|AB|＝4.     （3分）

所以a＝，c＝2，从而b²＝c²－a²＝2.                                         （4分）

故双曲线C的方程是.                                              （5分）

方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则

点A(－2，0），B(2，0），P(，1).                                           （2分）

设双曲线C的方程为＞0，b＞0），则.               （3分）

解得a²＝b²＝2，故双曲线C的方程是                               （5分）

(Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程得，，即

(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                         （6分）

因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则

  　即　                          （7分）

设点E(x₁，y₁），F(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝.                      （8分）

所以｜EF｜＝

＝                  （9分）

又原点O到直线l的距离d＝.                                         （10分）

所以S_△DEF=        （11分）因为S_△OEF，则（12分）

综上分析，直线l的斜率的取值范围是[－，－1)(－1，1)(1，].        （13分）