Question

已知函数y=

sin2x+1

sinx

，则该函数的值域为（　　）

• A、[-1，1]
• B、[-2，2]
• C、（-∞，-2]∪[2，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

分析：设 sinx=t，t∈[-1，1]，且t≠0，利用单调性求出当 0＜t≤1时，y≥2，同理求得-1≤t＜0 时，y≤-2，从而求得函数y的值域．

解答：解：函数y=

sin2x+1

sinx

=sinx+

1

sinx

，设 sinx=t，t∈[-1，1]，且t≠0，
则 y=t+

1

t

，t∈[-1，1]，且t≠0，故函数y为奇函数．
当 0＜t≤1时，函数y为单调减函数，故 t=1时，函数y取得最小值等于2，此时，y≥2．
根据奇函数 的性质可得，-1≤t＜0 时，y≤-2，故函数y的值域为 （-∞，-2]∪[2，+∞），
故选C．

点评：本题考查正弦函数的值域，函数y=t+

1

t

，t∈[-1，1]且t≠0  的单调性和值域的求法，求得当0＜t≤1时，y≥2，是解题的关键．