Question

【题目】设.

（1）讨论在上的单调性；

（2）令，试证明在上有且仅有三个零点.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.

（2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可.

，

令，则或.

时，，单调递增，

时，单调递减，

时，，单调递增，

时，，单调递减.

的单调递增区间是，

递减区间是.

（2），

因为，所以是的一个零点.

所以是偶函数，

即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可.

①当时，

令，即或.

时，单调递减，

且，

时，，单调递增，

且

在有唯一零点

②当时，由于，.

而在单调递增，

所以恒成立，故在无零点，

所以在有一个零点，

由于是偶函数，所以在有一个零点，而，

综上在有且仅有三个零点.