Question

已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC＝120°，又PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中点．

1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；

2)求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；

3)设二面角A－BE－D的平面角q ，求cosq 的值

Answer 1

答案：
解析：

∵PC⊥平面ABCD，∴以C为原点，CA所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 　　∵ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC＝120°，PC＝a，E是PA的中点． 　　∴C(0，0，0)，A(0，a，0)，B(－a，a，0)，D(a，a，0)．P(0，0，a)， 　　∵E是PA的中点，∴E(0，a，a，)．－－－3分 　　1)设AC与BD交于点Q，则Q(0，a，0)，∴＝(0，0，a，)， 　　∵＝2，∴PC⊥平面ABCD，∴QE⊥平面ABCD． 　　平面EBD⊥平面ABCD．－－－3分 　　2)∵·＝(－a，a，－a)·(－a，0，a，)＝－a2． 　　||＝a，||＝a， 　　∴cos＜，＞＝＝－－－－4分 　　3)设平面ABE的法向量为p＝(x，y，z)，可得p＝(－，1，)， 　　又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又＝(0，a，0)， 　　∴取平面BDE的法向量q＝(0，，0)， 　　∴p·q＝，|p|＝，|q|＝． 　　∴cosq ＝．－－－－4分