Question

已知矩阵A=

1 a 2 3

的一个特征值是-1，求矩阵A的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量．

Answer 1

分析：根据特征多项式的一个零点为-1，可得a=4，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ=5．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．

解答：解：矩阵A=

1 a 2 3

的特征多项式是f（λ）=（λ-1）（λ-3）-2a，
由f（-1）=0得a=4，
令f（λ）=0，则λ=-1或λ=5，
解方程组{，

(5-1)x-4y=0 -2x+(5-3)y=0

可得一组不为零的解是{，

x=1 y=1

，
所以矩阵A的另一个特征值是5，属于5的一个特征向量是e=

1 1

．

点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．