Question

【题目】已知函数，．

（1）若直线是曲线的一条切线，求k的值；

（2）当时，直线与曲线无交点，求整数k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）3．

【解析】

（1）先求函数的导数，设出切点坐标，根据切线方程建立等量关系，求出切点坐标，从而可得k的值；

（2）把交点问题转化为函数的零点问题，结合导数，求解单调性及最值，然后可得整数k的最大值．

（1）由题意知，设切点为，

在点P处的切线方程为．

整理得．

由．

令，．

当，，在上单调递增；当，，在上单调递减．

所以的最大值为，即，故．

（2）令，

①当时，，所以在上单调递增．

所以，即在上无零点．

②当时，由，得．

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

的最小值为．

令，则，

所以在上单调递减，

而，，，因此k的最大值为3．