Question

设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）试确定的值，使得数列为等差数列；
（Ⅲ）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）时，数列为等差数列;（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）根据题意是与的等差中项,由等差中项不难得出三者的关系,又由为等比数列,回归基本量即可求出公比的值,就可求出的通项公式; （Ⅱ）由数列满足,可化简求得的表达式,即,由（Ⅱ）中所给条件为等差数列,可想到它的前三项一定符合等差数列的要求,即满足,可求出的值,这样得到的表达式,通过等差数列的定义对所求表达式进行验证,得出是一个等差数列;（Ⅲ）由题目在与之间插入个2,即和之间插入2k个2,这样不难发现这个数列的前三项均为2,这显然成立,推到一般情形去证明当时,等式左边,右边,化简得,可根据特点可令函数,可对其求导进行分析函数的单调性情况,发现最小值成立,从而就可得出符合题意的值.
试题解析：解：（Ⅰ）因为,所以，
解得（舍），则        3分
又，所以           5分
（Ⅱ）由，得，
所以,
则由，得          8分
而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列    10分
（Ⅲ）因为，易知不合题意，适合题意    11分
当时，若后添入的数2，则一定不适合题意，从而必是数列中的
某一项，则，
所以，即      13分
记，则，
因为，
所以当时，，又，
从而，故在[3，递增.
则由知=0在[3，无解，
即都不合题意  15分
综上知，满足题意的正整数仅有m=2           16分