Question

某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），最高处距水面10

2

3

m，入水处距池边的距离为4m．在某次跳水时，要求该运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（Ⅰ）求这条抛物线的解析式；
（Ⅱ）该运动员按（Ⅰ）中抛物线运行，要使此次跳水不至于失误，那么运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多为多少米？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数模型可设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据图象经过点O、B两点以及顶点A的纵坐标为

2

3

，建立方程组，解之即可，注意验证；
（Ⅱ）由题意要使某次跳水不至于失误，那么运动员在空中调整好入水姿势时，距水面高度不小于5m．建立不等式，解之即可求出x范围，从而求出所求．

解答：解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B．
抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
由题意知：O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，-10），且顶点A的纵坐标为

2

3

，
所以有

c=0 4ac-b2 4a = 2 3 4a+2b+c=-10

解之得

a=- 25 6 b= 10 3 c=0

或

a=- 3 2 b=-2 c=0

∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴-

b

2a

＞0，又∵抛物线开口向下，∴a＜0，b＞0，
后一组解舍去．∴a=-

25

6

，b=

10

3

，c=0．
∴抛物线的解析式为y=-

25

6

x2+

10

3

x．
（Ⅱ）由题意要使某次跳水不至于失误，那么运动员在空中调整好入水姿势时，距水面高度不小于5m．
则应有y≥-5．即-

25

6

x2+

10

3

x≥-5，解得

2- 34

5

≤x≤

2+ 34

5

∴运动员此时距池边的距离至多为

2+ 34

5

+2=

12+ 34

5

m．

点评：本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，以及一元二次不等式的解法等有关知识，同时考查了计算能力，属于中档题．