Question

f(x)=

3

sin3ωx+3cos3ωx（ω＞0，x∈R）
（1）当ω=1时，求f（x）的最大值和最小值并求出此时的x值；
（2）f（x）在（0，

π

3

）上是增函数，求ω最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦可将f（x）=

3

sin3ωx+3cos3ωx转化为f（x）=2

3

sin（3ωx+

π

3

），从而可求当ω=1时，f（x）的最大值和最小值及对应的x值；
（2）利用正弦函数的单调性质可求得f（x）的单调递增区间为：[

2kπ

3ω

-

5π

18ω

，

2kπ

3ω

+

π

18ω

]，利用f（x）在（0，

π

3

）上是增函数即可求得ω最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin3ωx+3cos3ωx
=2

3

（

1

2

sin3ωx+

3

2

cos3ωx）
=2

3

sin（3ωx+

π

3

），
∴当ω=1时，f（x）=2

3

sin（3x+

π

3

），
∴当3x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=

2kπ

3

-

5π

18

（k∈Z）时，f（x）的最小值为-2

3

；
当3x+

π

3

=2kπ+

π

2

，即x=

2kπ

3

+

π

18

（k∈Z）时，f（x）的最大值为2

3

；
（2）∵f（x）=2

3

sin（3ωx+

π

3

），ω＞0，
∴由2kπ-

π

2

≤3ωx+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得，

2kπ

3ω

-

5π

18ω

≤x≤

2kπ

3ω

+

π

18ω

（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为：[

2kπ

3ω

-

5π

18ω

，

2kπ

3ω

+

π

18ω

]；
又f（x）再（0，

π

3

）上单调递增，
∴

π

18ω

≥

π

3

，又ω＞0，
∴ω≤

1

6

，
∴ω_max=

1

6

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．