Question

【题目】已知函数．

（1）求的单调性；

（2）若对定义域内任意的，都恒成立，求a的取值范围；

（3）记，若在区间内有2个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先求导得，按，，分类讨论即可；

（2）由（1）得函数的最小值，只要最小值不小于即可解出a的范围；

（3）化简得，求导得，按，，分类讨论得的单调性，根据题意即可求出a的范围.

（1）的定义域为，

当时，恒成立，∴在上单调递增；

当时，在上单调递减，上单调递增；

当时，在上单调递减，上单调递增.

（2）由（1）知：当时，在上单调递增，所以恒成立；

当时，在上单调递减，上单调递增，

所以，解得；

当时，在上单调递减，上单调递增，

所以，解得

综上：

（3）记，化简得，，所以；

当时，，所以在上递增，不符合题意，舍去；

当时，在上单调递减，上单调递增，要使在区间内有2个零点，

，解得；

当时，在上单调递减，上单调递增，要使在区间内有2个零点，

，解得；

综上：．