Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），设y₃=18，y₆=12．
（1）数列{y_n}的前多少项和最大，最大值是多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使得n＞M时，x_n＞1恒成立，若存在，求出最小的自然数M，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵数列{y_n}满足

yn

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），
∴y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，
则y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（

xn+1

xn

）．
∵{x_n}为等比数列，
∴

xn+1

xn

为定值．
∴{y_n}为等差数列．
∵y₃=18，y₆=12，
∴y₆-y₃=3d=12-18，
∴d=-2，y₁=y₃-2d=22．
∴S_n=22n+

n(n-1)

2

•（-2）=-n²+23n．
∴当n=11或n=12时，S_n取得最大值，且最大值为132．
（2）∵y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，
∴x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，
当a＞1时，12-n＞0，n＜12；
当0＜a＜1时，12-n＜0，n＞12．
综上所述，当0＜a＜1时，存在最小的自然数M=12，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．