Question

如图，点P在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，过点P作椭圆右准线的垂线，垂足为M，若四边形PF₁F₂M为菱形，则椭圆的离心率是

5 -1

2

．

Answer 1

分析：根据题意，四边形PF₁F₂M为菱形，由菱形的性质，可得PM=PF₁=F₁F₂=2c，再由椭圆的定义可得PF₂的长，结合椭圆的第二定义，有

PF2

PM

=

c

a

，代入PM与PF₂的值，化简可得e²+e-1=0，解可得e的值，根据椭圆的性质，取舍解出的值可得答案．

解答：解：∵四边形PF₁F₂M为菱形，
∴PM=F₁F₂=2c，且PM=PF₁=2c．
再由椭圆的定义可得PF₁+PF₂=2a，则PF₂=2a-2c．
根据椭圆的第二定义，有

PF2

PM

=e=

c

a

，则

2a-2c

2c

=

c

a

，
又由c²=a²-ac，则e²+e-1=0，
解可得e=

-1± 5

2

，
又由0＜e＜1，则e=

-1+ 5

2

=

5 -1

2

，
故答案为

5 -1

2

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，结合椭圆第二定义，得到关于e的关系式，是解题的关键．