Question

（2009•大连二模）已知映射：f：A→B，其中→A=R⁺，B=R，对应法则为：f：x→y=lnx+

1

x

，对于实数t∈B，在集合A中不存在原象，则t的取值范围是（　　）

A．t＞0

B．t＜1

C．t＜0

D．t≥1

Answer 1

分析：实数t∈B，在集合A中不存在原象，表示t应该在A中所有元素在B中对应象组成的集合的补集中，故我们可以根据已知条件中的A=（0，+∞），B=R，映射f：A→B，对应法则为f：x?y=lnx+

1

x

，求出A中所有元素在B中对应的象组成的集合，再求其补集即可得到答案．

解答：解：函数f（x）=lnx+

1

x

，∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

（x＞0）
令f′（x）=

1

x

-

1

x2

=0
解得x=1，
∵当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0
故在区间（0，1）上，函数f（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，函数f（x）为增函数，
则当x=1时，函数取最小值1，
∴当x∈A时，在映射f：A→B的作用下
对应象的满足：y≥1．
故若实数t∈B，在集合A中不存在原象
则t应满足，t＜1
即满足条件的实数m的取值范围是t＜1．
故选B．

点评：在集合A到B的映射中，若存在实数t∈B，在集合A中不存在原象，表示t应该在A中所有元素在B中对应象组成的集合的补集中．