Question

【题目】已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是 （t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 倍，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．

令y= =0得t=0，把t=0代入x=﹣ 得x=2．∴M（2，0）．

∴|MC|= = ．∴|MN|的最大值为|MC|+r=

（2）解：由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣ ）2= ．

∴圆C的圆心为C（0， ），半径为| |，

直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．

∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 倍，

∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．

∴ =| |，解得a=32或a=

【解析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的 ，列出方程解出．