Question

12．（1）求值C${\;}_{n}^{5-n}$+C${\;}_{n+1}^{9-n}$；
（2）已知$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$，求C${\;}_{8}^{m}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出关于n的不等式组，求出n的值，再求组合数C${\;}_{n}^{5-n}$+C${\;}_{n+1}^{9-n}$的值；
（2）由组合数公式，化简等式解方程求出m的值，再计算组合数C${\;}_{8}^{m}$．

解答 解：（1）根据题意，$\left\{\begin{array}{l}{0≤5-n≤n}\\{0≤9-n≤n+1}\\{n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{4≤n≤5}\\{n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
∴n=4或n=5；
当n=4时，C${\;}_{n}^{5-n}$+C${\;}_{n+1}^{9-n}$=${C}_{4}^{1}$+${C}_{5}^{5}$=5；
当n=5时，C${\;}_{n}^{5-n}$+C${\;}_{n+1}^{9-n}$=${C}_{5}^{0}$+${C}_{6}^{4}$=16；
（2）由$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$得，
$\frac{m!•（5-m）!}{5!}$-$\frac{m!•（6-m）!}{6!}$=$\frac{7•m!•（7-m）!}{10•7!}$，
化简得m²-23m+42=0，
解得m=2或21；
又5-m≥0，解得0≤m≤5，
∴只取m=2；
∴C${\;}_{8}^{m}$=${C}_{8}^{2}$=28．

点评 本题主要考查了组合数的性质与应用问题，也考查了解方程的问题，是综合题．