Question

【题目】（1）是否存在实数，使得等式 对于一切正整数都成立？若存在，求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.

（2）求证：对任意的，.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

（1）对n进行赋值，代入，求解方程组可求,证明使用数学归纳法；

（2）利用数学归纳法的步骤证明.

（1）在等式 中

令得①；令得②；

令得③；由①②③解得

对于都有 成立.

下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.

①当时，由上所述知式成立；

②假设当时式成立，

即 ，

那么当时，

综上：由①②得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等

式对于一切正整数都成立.

（2）证明：

①当时，左式，右式，所以左式<右式，则时不等式成立；

②假设当时不等式成立，即，

那么当时，

下面证明当时，.

设 ，则所以在上单调增，所以即时，.

因为，所以则

因为

所以

由得

那么时不等式也成立.

综上：由①②可得对任意 .