Question

【题目】已知数列{an},a1=2,a2=6,且满足=2(n≥2且n∈N+)

(1)证明:新数列{an+1-an}是等差数列,并求出an的通项公式

(2)令bn=,设数列{bn}的前n项和为Sn,证明:S2n-Sn<5

Answer 1

【答案】(1)见解析.(2)见解析.

【解析】试题分析：(1)由已知可得 ,则，即可证明是等差数列,进而求出 的通项公式；

试题解析：(1)证明:an+1+an-1=2an+2,则(an+1-an)-(an-an-1)=2.所以{an+1-an}是公差为2的等差数列.

n≥2,an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=2n+…+4+2=2·=n(n+1).

当n=1,a1=2满足. 则an=n(n+1).

(2)bn=-=- ∴Sn=10(1++…+)-,

∴S2n=10(1++…++)-,

设Mn=S2n-Sn=10()-,

∴Mn+1=10()-,

∴Mn+1-Mn=10()-=10() -=-,

∴当n=1时, Mn+1-Mn=＞0,即M1＜M2，当n≥2时，Mn+1-Mn＜0，

即M2＞M3＞M4＞…，∴(Mn)max=M2=10×()-1=

则S2n-Sn≤S4-S2=