Question

【题目】已知函数.

（1）若函数与函数在点处有共同的切线，求的值；

（2）证明： ；

（3）若不等式对所有， 都成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)t=2；(2)证明见解析；(3) .

【解析】试题分析：

(1)由题意可知： ，据此得到关于实数t的方程，解方程可得：t=2；

(2)构造新函数，结合导函数讨论函数的最大值即可证得题中的结论；

(3)将原问题转化为对所有的， 都成立，讨论函数， 的性质，结合函数的性质可得实数的取值范围是.

试题解析：

（1）， ，

∵与在点处有共同的切线，

∴，即.

（2）令，则，

则在上是增函数，在上是减函数，

∴的最大值为，∴的最小值是1.

设， ，

故在上是增函数，在上是减函数，故，

∴.

（3）不等式对所有的， 都成立，

则对所有的， 都成立，

令， ， 是关于的一次函数，

∵，∴，∴当时， 取得最小值，

即，当时，恒成立，故.