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    设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
    1
    2
    ．
    （1）求f(
    1
    2
    )    和f(
    k
    n
    )+f(
    n-k
    n
    )(k=0，1，2，…，n)    的值；
    （2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)    -f(
    1
    2
    )    ，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
    分析：（1）根据f(x)=f(x-1)+
    1
    2
    ，且f（x）是奇函数，将
    1
    2
    代入，可求f(
    1
    2
    )    的值，再结合奇函数得到f(x)+f(1-x)=
    1
    2
    ．令x=
    k
    n
    ，即可求得结论；
    （2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列．
    解答：解：（1）∵f(x)=f(x-1)+
    1
    2
    ，且f（x）是奇函数
    ∴f(
    1
    2
    )=f(
    1
    2
    -1)+
    1
    2
    =f(-
    1
    2
    )+
    1
    2
    =-f(
    1
    2
    )+
    1
    2

    ∴2f(
    1
    2
    )=
    1
    2
    ，故f(
    1
    2
    )=
    1
    4
    （3分）
    因为f(x)=f(x-1)+
    1
    2
    =-f(1-x)+
    1
    2
    ，所以f(x)+f(1-x)=
    1
    2
    ．
    令x=
    k
    n
    ，得f(
    k
    n
    )+f(1-
    k
    n
    )=
    1
    2
    ，即f(
    k
    n
    )+f(
    n-k
    n
    )=
    1
    2
    ．（6分）
    （2）令sn=f(0)+f(
    1
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)
    又sn=f(1)+f(
    n-1
    n
    )+…+f(
    1
    n
    )+f(0)
    两式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )]+…+[f(1)+f(0)]=
    n+1
    2
    ．
    所以sn=
    n+1
    4
    ，（6分）
    故an=sn-f(
    1
    2
    )=
    n+1
    4
    -
    1
    4
    =
    n
    4
    ，n∈N*    （10分）
    又an+1-an=
    n+1
    4
    -
    n
    4
    =
    1
    4
    ．故数列{an}是等差数列．（12分）
    点评：本题主要考查数列与不等式的综合问题．解决本题第一问的关键在于利用奇函数的性质得到f(x)+f(1-x)=
    1
    2
    ．而解决第二问的关键在于用到了倒序相加求和．
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    （1）求证：f（x）是奇函数；
    （2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
    （3）解关于x的不等式
    1
    2
    f(bx)-f(x)＞
    1
    2
    f(b2x)-f(b)    ．

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    （Ⅲ）当a＞1时，不等式f（n-x）＞
    12
    g（x）对任意x∈[0，1]恒成立，求实数n的范围．

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    （1）求证f（x）是奇函数；
    （2）判断f（x）的单调性；
    （3）若f（1）=-2，试问在-3≤x≤3，f（x）是否有最值？如果有，求出最值，如果没有，说出理由．

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