Question

已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=2x²+4x-2．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式

f(x)+g(x)

2

＜|2x-1|．

Answer 1

分析：（I）根据关于y轴对称的两点的坐标关系，设函数y=g（x）图象上任意一点P（x，y），将对称点的坐标代入y=f（x）的解析式，可得y=g（x）的解析式；
（II）代入f（x）、g（x）的解析式得2x²-2＜|2x-1|，等价于2x-1＞2x²-2或2x-1＜2-2x²，分别求解，再求并集．

解答：解：（Ⅰ）设函数y=g（x）图象上任意一点P（x，y），由已知点p关于y轴对称点P'（-x，y）一定在函数y=f（x）图象上，
代入y=2x²+4x-2，得g（x）=2x²-4x-2；
（Ⅱ）

f(x)+g(x)

2

＜|2x-1|?2x²-2＜|2x-1|，
方法1：2x²-2＜|2x-1|?

2x2-2＜2x-1 2x-1≥0

或

2x2-2＜1-2x 2x-1＜0

?

1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2 x≥ 1 2

或

-1- 7 2 ＜x＜ -1+ 7 2 x＜ 1 2

?

1

2

≤x＜

1+ 3

2

或

-1- 7

2

＜x＜

1

2

，
∴不等式的解集是{x|

-1- 7

2

＜x＜

1+ 3

2

}
方法2：

f(x)+g(x)

2

＜|2x-1|等价于2x-1＞2x²-2或2x-1＜2-2x²
解得

1- 3

2

＜x＜

1+ 3

2

或

-1- 7

2

＜x＜

-1+ 7

2

所以解集为{x|

-1- 7

2

＜x＜

1+ 3

2

}．

点评：本题考查了函数的解析式及求法，考查了函数不等式的解法，计算要细心，易出错．