Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）求不等式f（a²-2a-2）＜3的解集．

Answer 1

分析：（1）直接设x₁＜x₂，根据x＞0，f（x）＞2；得到f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞2+f（x₁）-2=f（x₁），即可得到结论；
（2）先根据已知条件得到f（1）=3，再把所求不等式转化为a²-2a-2＜1即可得到结论．

解答：解：（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0，f（x）＞2；
∴f（x₂-x₁）＞2；即f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞2+f（x₁）-2=f（x₁），
即f（x₂）＞f（x₁）．
所以：函数f（x）为单调增函数
（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3．
即f（a²-2a-2）＜3⇒f（a²-2a-2）＜f（1）
∴a²-2a-2＜1⇒a²-2a-3＜0
解得不等式的解为：-1＜a＜3．

点评：此题是个难题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．