Question

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减
（1）求a的值；
（2）在区间[-2，2]上，试求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，知道x=1是f（x）的极值点，求导，令f′（1）=0，可得a的值．
（2）由（1）得f′（x）=4x³-12x²+8x，令f′（x）=4x³-12x²+8x=0，得x₁=0，x₂=1，x₃=2，由此能求出在区间[-2，2]上，函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=x⁴-4x³+ax²-1，
∴f′（x）=4x³-12x²+2ax，
∵f（x）在[0，1]上递增，在[1，2]上递减，
∴x=1是f（x）的极值点，
所以f′（1）=0，
即4×1³-12×1²+2a×1=0．
解得a=4，经检验满足题意，
所以a=4．
（2）由（1）得f（x）=x⁴-4x³+4x²-1，
∴f′（x）=4x³-12x²+8x，
令f′（x）=4x³-12x²+8x=0，得x₁=0，x₂=1，x₃=2，
∵x₁=0，x₂=1，x₃=2∈[-2，2]，
且f（-2）=16+32+16-1=63，
f（0）=0-0+0-1=-1，
f（1）=1-4+4-1=0，
f（2）=16-32+16-1=-1，
∴在区间[-2，2]上，函数f（x）的最大值是63，最小值是-1．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和最值，体现了数形结合的思想方法，属中档题．