Question

已知函数（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），两点，列方程能求出函数f（x）的解析式．
（2）设x₂＞x₁≥1，推导出f（x₁）-f（x₂）=，由此能够证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（3）要使不等式对任意的恒成立，只需，，由此能求出a的取值集合．
解答：解：（1）∵函数（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），两点，
∴，解得a=1，b=1，
∴．…..（3分）
（2）设x₂＞x₁≥1，则
=，
∵x₂＞x₁≥1，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，
∴x₁x₂-1＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数．   …（6分）
（3）要使不等式对任意的恒成立，
只需，，
由（2）知f（x）在[1，+∞）上单调递增，
同理可证f（x）在（0，1]上单调递减．
当时，f（x）在上单调递减，f（x）在[1，3]上单调递增．
又，，
∴当时，，
∴，
∴a的取值集合是{a|a≥log₂5}．…（10分）
点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明，考查实数的取值集合的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法和等价转化思想的合理运用．