Question

【题目】已知椭圆C： + =1 （a＞b＞0 ） 经过点 P（1， ），离心率 e=
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设过点E（0，﹣2 ） 的直线l 与C相交于P，Q两点，求△OPQ 面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由点 在椭圆上得， ①

又e= = ②，c2=a2﹣b2③

由①②③得c2=3，a2=4，b2=1，

故椭圆C的标准方程为 ．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

将y=kx﹣2代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，解得k＞ 或k＜﹣ ．

x1+x2= ，x1x2= ，

|PQ|= |x1﹣x2|= =4 ，

又O到直线PQ的距离d= ，

则S△OPQ= d|PQ|=4 ，

设t= ，（t＞0），则4k2=3+t2，

即有S△OPQ= =

由t+ ≥2 =4，

当且仅当t=2，即k=±

则S△OPQ≤1．

故△OPQ 面积的最大值为1

【解析】1、由已知可得把点P的坐标代入椭圆的方程，再根据已知的离心率以及椭圆里联立关于a、b、c的方程即可。
2、由直线的点斜式和椭圆的方程联立消y可得关于斜率k的方程，直线和椭圆有两个交点即得△＞0即得k＞ 或k＜﹣ ．再由根与系数的关系得到x1+x2= ，x1x2=,利用弦长公式求出|PQ|，点到直线的距离求出d即得S△OPQ= d|PQ|整理这个式子设t= ，（t＞0）转化成基本不等式的形式求出最小值当且仅当t=2，即k=± 时等号成立，满足判别式大于0即S△OPQ≤1故△OPQ 面积的最大值为1。