Question

【题目】已知函数

(1)当时,求满足的的取值:

(2)若函数是定义在上的奇函数

①存在,不等式有解,求的取值范围;

②若函数满足,若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）①，②6

【解析】分析：（1）根据 ，可将方程 转化为一元二次方程：，再根据指数函数范围可得，解得，（2）①先根据函数奇偶性确定值：，再利用单调性定义确定其单调性；在上递调，最后根据单调性转化不等式为，即在时有解，根据判别式大于零可得的取值范围。②先求函数：，则，因此不等式可转化为一元二次不等式，并将其变量分离得：的最小值，其中，利用基本不等式求最值得

详解：（1）由题意，，化简得

解得（舍）或，

所以

（2）因为是奇函数，所以，所以

化简并变形得：

要使上式对任意的成立，则或

解得：或，因为的定义域是，所以舍去

所以，所以

①

对任意，有：

因为，所以，所以

因此在上递减

因为，所以

即在时有解，所以，解得

所以的取值范围为

②因为，所以

即

所以

不等式恒成立，

即

即恒成立，

令，，则在时恒成立

令，

时，，所以在上单调递减

时，，所以在上单调递增

所以，所以

所以，实数的最大值是6．