Question

顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A（1，1），过A作抛物  线的切线交x轴于B₁，过B₁点作x轴的垂线交抛物线于A₁，过A₁作抛物线的切线交x轴于B₂，…，过A_n（x_n，y_n）作抛物线的切线交x轴于B_n+1（x_n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式；
（2）设a_n=+，数列{a_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-．
（3）设b_n=1-log₂y_n，若对任意正整数n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得抛物线方程为y=x²，y^′=2x，设过点A_n（x_n，y_n）的切线为y-x_n²=2x_n（x-x_n），令y=0和x=0，即可求出{x_n}，{y_n}的通项公式．
（2）由（1）知x_n=，代入可得a_n=+=+=2-（-），从而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n-[（-）+（-）+…+（-）]=2n-（）＞2n-，于是结论即可证得．
（3）由于y_n=，可得b_n=2n+1，则可得不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，分离系数a，可得a≤（1+）（1+）…（1+），然后令f（n）=（1+）（1+）…（1+），根据函数的单调性解决a的取值范围．
解答：解：（1）由已知得抛物线方程为y=x²，y^′=2x，
则设过点A_n（x_n，y_n）的切线为y-x_n²=2x_n（x-x_n），
令y=0，x=，故x_n-1=，
又x=1，∴x_n=，y_n=，
（2）证明：由（1）知x_n=，
所以a_n=+=+=2-（-），
由于＜，＞，
得-＜-，
∴a_n=2-（-）＞2-（-），
从而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n-[（-）+（-）+…+（-）]=2n-（）＞2n-，
即T_n＞2n-，
（3）由于y_n=，故b_n=2n+1，
对于任意正整数n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，
a≤（1+）（1+）…（1+）恒成立，
设f（n）=（1+）（1+）…（1+），
∴f（n+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+），
=•（1+）=•==＞1，
∴f（n+1）＞f（n），故f（n）为递增，
∴f（n）_min=f（1）=•=，
∴0＜a≤．
点评：本题主要考查数列与解析几何综合的知识点，本题是一道综合性比较强的习题，解答本题的关键是准确求出数列{x_n}，{y_n}的通项公式，熟练利用函数单调性求最值等知识点，此题难度较大．