Question

已知关于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）对一切m∈R恒有实数解，则点（a，b）在平面ab上的区域面积为

 

．

Answer 1

分析：先将关于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）可化为x²-（3+m）x+2+m（a²+b²）=0，根据方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）对一切m∈R恒有实数解，△≥0，得到m²+[6-4（a²+b²）]m+1≥0，恒成立，从而得：△′≤0，得出1≤a²+b²≤2，则点（a，b）在平面ab上的区域是圆环，最后求得其面积．

解答：解：关于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）可化为：
x²-（3+m）x+2+m（a²+b²）=0，
∵方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）对一切m∈R恒有实数解，
∴△≥0，即（3+m）²-4[2+m（a²+b²]≥0，
化简得：m²+[6-4（a²+b²）]m+1≥0，
从而得：△′≤0，
即[6-4（a²+b²）]²-4≤0，
1≤a²+b²≤2，
则点（a，b）在平面ab上的区域是圆环，其面积为(

2

) 2π-1×π=π，
故答案为：π．

点评：本小题主要考查一元二次不等式的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．