Question

求下列函数的值域和最值:

(1)y=2sinx-1;

(2)y=3sin(3x+)+2;

(3)y=2cos²x+5sinx-4;

(4)y=.

Answer 1

思路分析:利用|sinx|≤1,通过变量代换转化为基本函数.

解：(1)∵-1≤sinx≤1,

∴-2≤2sinx≤2.故-3≤2sinx-1≤1.

当x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1;

当x=2kπ-(k∈Z)时,y有最小值-3.值域为［-3,1］.

(2)u=3x+,则有y=3sinu+2,

∴值域为［-1,5］.

当u=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,y有最大值5.

当u=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,y有最小值-1.

(3)设sinx=u,则|u|≤1,y=2cos²x+5sinx-4=2-2sin²x+5sinx-4=-2u²+5u-2.①

问题转化为在定义域［-1,1］内求二次函数①的值域问题.配方,有y=-2(u-)²+,

∵-1≤u≤1,

∴当u=-1,即x=2kπ-(k∈Z)时,y有最小值-9;当u=1,即x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1.

∴函数y的值域为［-9,1］.

(4)原函数可化为y=,即y=1-.

∵1≤sinx+2≤3,

∴≤≤1,

1≤≤3,-3≤≤-1.

故-2≤1≤0.

∴函数y的值域为［-2,0］,并且当x=2kπ+时,y=0;当x=2kπ-时,y=-2.