Question

（2013•南通一模）如图，已知定点R（0，-3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使

PQ

=

1

2

QM

，且

PR

•

PM

=0．
（1）求动点M的轨迹C₁；
（2）圆C₂：x²+（y-1）²=1，过点（0，1）的直线l依次交C₁于A，D两点（从左到右），交C₂于B，C两点（从左到右），求证：

AB

•

CD

为定值．

Answer 1

分析：（1）设M的坐标，表示出P，Q的坐标，可得

PR

，

PM

的坐标，利用数量积公式，可得轨迹方程，从而可得轨迹；
（2）由题意，

AB

•

CD

=AB•CD，AB=FA-FB=y₁+1-1=y₁，CD=y₂，设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得到结论．

解答：（1）解：设M（x，y），则
由

PQ

=

1

2

QM

，可得P(-

x

2

，0)，Q(0，

y

3

)
∴

PR

=(

x

2

，-3)，

PM

=(

3x

2

，y)
∵

PR

•

PM

=0，
∴(

x

2

，-3)•(

3x

2

，y)=0
∴x²=4y
∴动点M的轨迹C₁是顶点在原点，开口向上的抛物线；
（2）证明：由题意，

AB

•

CD

=AB•CD，圆C₂：x²+（y-1）²=1的圆心即为抛物线C₁的焦点F
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则AB=FA-FB=y₁+1-1=y₁，
同理CD=y₂，
设直线的方程为x=k（y-1）
代入抛物线方程可得k²y²-（2k²-4）y+k²=0
∴

AB

•

CD

=AB•CD=y₁y₂=1．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．