Question

（1） f（x）为R上奇函数，当x≥0时，f（x）=x²+2x，则当x＜0时，f（x）=

 

．
（2）判断奇偶性：f(x)=(x-1)

1+x 1-x

为

 

函数；f(x)=

1-x2

2-|2-x|

为

 

函数．

Answer 1

分析：（1）设x＜0，则-x＞0，把-x代入f（x）=x²+2x求出f（-x），根据奇函数的定义求出f（x）；
（2）分别根据分母不为零和偶次根号下被开方数大于等于零，求出两个函数的定义域，判断是否关于原点对称，再由定义域对解析式化简后，验证f（x）与-f（-x）的关系．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x²+2x，∴f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x，
又∵f（x）为R上奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-x²+2x，
∴当x＜0时，f（x）=-x²+2x，

（2）由

1+x

1-x

≥0且1-x≠0解得，-1≤x＜1，
则函数f(x)=(x-1)

1+x 1-x

的定义域是[-1，1），则是非奇非偶函数；
由

1-x2≥0 2-|2-x|≠0

解得，-1≤x≤1且x≠0，
则函数f(x)=

1-x2

2-|2-x|

的定义域是[-1，0）∪（0，1]，
∴f（x）=

1-x2

x

，则f（x）=-f（-x），即此函数为奇函数．
故答案为：（1）-x²+2x； （2）非奇非偶，奇．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断和应用，判断函数奇偶性先求函数的定义域并判断是否关于原点对称，即“定义域优先”．