Question

设S_n=1+2+3=…+n，n∈N^*，则f（n）=

Sn

(n+7)Sn+1

的最大值为

2

33

．

Answer 1

分析：先求出S_n=

n(n+1)

2

，可得f（n）=

1

n+9+ 14 n

≤

1

9+2 14

，当且仅当n=

14

n

 时等号成立，但由于n为正整数，故
当n=4时，f（n）有最大值为

1

4+9+ 14 4

=

2

33

．

解答：解：∵S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴f（n）=

Sn

(n+7)Sn+1

=

n(n+1) 2

(n+7)• (n+1)(n+2) 2

=

n

(n+7)(n+2)

=

1

n+9+ 14 n

．
∵n+

14

n

≥2

14

，∴

1

n+9+ 14 n

≤

1

9+2 14

=

9-2 14

5

 （当且仅当n=

14

n

 时等号成立）．
又由于n为正整数，故当n=4时，f（n）有最大值为

1

4+9+ 14 4

=

2

33

，
故答案为：

2

33

．

点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，基本不等式的应用，注意等号成立的条件以及n的取值范围，这是解题的易错点．