Question

在平行四边形ABCD中，设∠DAB=α，∠CAB=β，已知2

AB

•

AD

=|

BC

|•|

CD

|=BD2，cos(γ-α)=

4 3

7

，其中γ∈(

π

3

，

5π

6

)；
（1）求cosγ的值；
（2）求sin（β+2γ）的值．

Answer 1

分析：（1）利用平行四边形边之间的关系及向量数量积的运算法则求出∠DAB，据三角函数的平方公式求出γ-α的正弦，通过凑角将角γ用角α和角γ-α表示，利用和角公式求出cosγ
（2）利用三角形中的余弦定理及已知条件判断出平行四边形是菱形，求出角β，求出角β的三角函数，由（1）求出γ的三角函数，利用二倍角公式及和角公式求得．

解答：解：（1）在平行四边形ABCD中，|

AD

|=|

BC

|，|

AB

|=|

CD

|，
所以|

CD

|•|

BC

|=|

AB

|•|

AD

|，
又已知2

AB

•

AD

=|

BC

|•|

CD

|，
所以|

AB

|•|

AD

|=2

AB

•

AD

=2|

AB

|•|

AD

|•cos∠DAB，
所以cos∠DAB=

1

2

，又∠DAB∈（0，π），
所以∠DAB=

π

3

，即α=

π

3

，
γ∈(

π

3

，

5π

6

)，则γ-α=γ-

π

3

∈(0，

π

2

)，
所以sin(γ-α)=

1-cos2(γ-α)

=

1

7

，
cosγ=cos[α+(γ-α)]=cos[

π

3

+(γ-

π

3

)]=cos

π

3

cos(γ-

π

3

)-sin

π

3

sin(γ-

π

3

)=

3 3

14

；
（2）在平行四边形ABCD中，有|

BC

|•|

CD

|=|

AD

|•|

AB

|=BD2
又在△ABD中，BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cos∠DAB，
即有AB•AD=AD2+AB2-2AD•AB•cos

π

3

，
即有（AB-AD）²=0，
所以AB=AD，
即平行四边形ABCD为菱形，又∠DAB=

π

3

，
所以∠CAB=

π

6

，即β=

π

6

，
由（1）得cosγ=

3 3

14

，又γ∈(

π

3

，

5π

6

)，
所以sinγ=

1-cos2γ

=

13

14

，sin2γ=2sinγcosγ=

39 3

98

，cos2γ=2cos2γ-1=-

71

98

sin(β+2γ)=sin(2γ+

π

6

)=sin2γcos

π

6

+cos2γsin

π

6

=

39 3

98

•

3

2

+(-

71

98

)•

1

2

=

23

98

点评：本题是向量与三角结合的题目，考查了向量的数量积运算公式；三角函数的诱导公式；二倍角公式；和差角公式．