Question

若函数f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）当a＞1时，判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）用奇偶性定义判断，先看f（x）的定义域是否关于原点对称，再看f（x）与f（-x）的关系．
（2）用单调性定义判断，思路是在区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．

解答：（1）解：由f（x）的定义域为（-∞，+∞），关于数0对称（2分）f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，得∴f（x）为R上的奇函数．（6分）
（2）当a＞1时，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．（8分）（本次未扣分，以后考试一定会扣分）
证明：设x₁，x₂为（-∞，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，
则由a＞1得ax1＜ax2
f(x1)-f(x2)=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0
∴当a＞1时，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．（14分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断．