Question

（本题满分15分）设函数．

（Ⅰ）若函数在上单调递增，在上单调递减，求实数的最大值；

（Ⅱ）若对任意的，都成立，求实数的取值范围．

注：为自然对数的底数．

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）b的最大值是（Ⅱ）   

【解析】本题主要考查函数的单调性、导数的运算法则、导数应用、恒成立问题等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力.

(1) 解：由题设可知，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值是

（2）令可看作关于的一次函数且单调递增，只需即

构造函数得到结论。

（Ⅰ）解：

由题设可知，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值是

（Ⅱ）解：令

可看作关于的一次函数且单调递增，

只需即

令则，  

令，的对称轴为

(ⅰ)对恒成立，在上单调递增，

，不合题意.

(ⅱ) 对恒成立，在上单调递减，

满足题意.

此时只需，，

.

(ⅲ)在上，在上，

即在上单调递减，在上单调递增.

此时只需，

又即

综上，   

(用分离参数方法解同样给分